TKKG und der rätselhafte Kompaktheitssatz

Folgerungsbeziehung

Eine Formelmenge ist erfüllt, wenn die Interpretation jede der Formeln $\varphi \in \Phi$ erfüllt.

Zudem folgt eine Formel aus der Formelmenge $\Phi \models \psi$, wenn jedes passende Modell von $\Phi$ auch Modell von $\psi$ ist.

Kompaktheitssatz

2 Dinge

• $\Phi$ ist erfüllbar, genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von $\Phi$ erfüllbar ist.
• $\Phi \models \psi$ genau dann, wenn eine endliche Teilmenge $\Phi_0 \subset \Phi$ existiert, so dass $\Phi_0 \models \psi$.

Lemma von Zorn

Ich hoffe nicht, dass wir den Kompaktheitssatz in der Klausur bewisen müssen. Aber selbst wenn nicht, hilft das Lemma vielleicht manchmal.

Eine nicht-leere partielle Ordnung $(A, \le)$, in der jede Kette nach oben beschränkt ist (Eine Kette ist hier z.B. $A<B<C$ eine Teilmenge wo entweder $x \le y$ oder $y \le x$ gilt)

Das klappt natürlich genauso mit der partiellen Ordnung $\subseteq$.

Lemma von König

Ein weiteres Lemma was gemerkt werden könnte, ob es das sollte ist eine andere Frage

Sei $T$ ein endlich verzweigter Baum mit Wurzel $w$, in dem es beliebig lange Wege gibt. Dann gibt es auch einen unendlichen Weg in $T$ (der bei der Wurzel beginnt).

Grundbegriff Axiomatisierbarkeit

Begriffe:

• Klasse
• Axiomatisierbar
• endlich Axiomatisierbar