Excel 2.0

Begriffe

• Domäne $D$: Wertebereich einer Spalte z.B. INTEGER.
• Relation: ist einfach dann gegeben $D_1, ..., D_k: r \subseteq D_1 \times ... \times D_k$: Also eine Tabelle wow.
• Tupel: Eine Zeile der Tabelle, bzw. ein Element der Relation
• geordnetes Relationenschema: Hierbei haben die Zeilen eine feste Ordnung

Relationen

Beispiel ist folgende Tabelle:

Name	Einwohnen	Land
München	1.472.000	Bayern
Bremen	569.352	Bremen
Aachen	245.885	NRW

Als geordnetes Schema wäre das:

• Schema: Städte(Name, Einwohner, Land)
• dom(Name) = STRING, dom(Einwohner) = INTEGER, dom(Land) = STRING
• Ausprägung ${(Muenchen, 1.472.000, Bayern), (Bremen, 569.352, Bremen), (Aachen, 245.885, NRW)}$
• $t_1$(Name) = München. $t_2$(Einwohner) = 569.352

Schlüsselattribute

Definition Schlüsselkandidat:

• Eindeutigkeit: In keinen zwei Tupeln gleichen sich alle Schlüsselattribute
• Minimalität: Du kannst nicht eins wegnehmen und es ist immer noch ein Schlüsselattribut. (Keine echte Teilmenge erfüllt Eindeutigkeit)

Formell:

• $R$ Relation, $S \subseteq R. t[S]$ ist eine Projektion(Einschränkung) vom Tupel auf die Attribute $S$.
  • $t_1, t_2 \in r: t_1 \neq t_2 \implies t_1[S] \neq t_2[S]$
  • Für alle Attributmengen $T$ die Eindeutigkeit erfüllen gilt: $T \subseteq S \implies T = S$

Relationale Modell

Alle Entities und Beziehungen werden als Relationen dargestellt.

• Intrarelationale Abhängigkeit: Aussagen über die Konsistenz einer Relation. Z.B.Schlüssel einer Relation
  • Wird durch $\sigma$ ausgedrückt. $\sigma: Rel(X) \to \{true, false\}$. Wobei $X$ eine Menge von Attributen, $Rel(X)$ die Menge aller Relationen über $X$ und $Tup(X)$ wäre das gleiche nur mit Tupeln
  • Man erweitert also das Relationenschema: $R'' = (R', \Sigma_X)$ wobei $\Sigma_X$ die Menge der Intra-Relationen-Abhängigkeiten ist und $R'$ ein geordnetes Relationenschema.
• Interrelationale Abhängigkeit: Aussagen über die Konsistenz einer Datenbank. Also zum Beispiel Fremdschlüssel müssen existieren.
  • $Dat(R)$ ist die Menge aller Datenbanken über $R$. Eine Datenbank ist eine Menge von Relationen
  • Eine Interrelationale Abhängigkeit wird durch $\sigma: Dat(R) \to \{true, false\}$ spezifiziert.
  • Z.B: $\sigma_{R_i[V] \cap R_j[W] = \emptyset}$ true wenn die Bedingung stimmt, sonst false

Somit ist ein Datenbankschema: $D= (R, \Sigma_R)$ Eine Datenbank ist konsistent/gültig wenn alle Intra- und Interrelationalen Abhängigkeiten erfüllt sind.

Fremdschlüssel

Man nutzt um Beziehung zu anderen Entitäten herzustellen deren Schlüssel. Das heißt dann Fremdschlüssel. Also $\sigma_{R_1[F] \subseteq R_2[K]} \in \Sigma_R$ wobei $F$ die Fremdschlüsselattribute und $K$ die Schlüsselattribute sind.

Von ER-Diagrammen zu Relationen

• Entity: Relation
• Attribut: Attribut der Relation
• Mehrwertiges Attribut: Neue Relation mit zusammengesetzten Schlüssel aus dem Schlüssel der Entity und dem Attribut

Ein Student wäre dann Student(MatrNr, Name, Semester)

• n-m-Beziehung: Relation mit Schlüssel aus den Schlüsseln der Entities. Z.B. Hört(MatrNr, VorlesungsNr) Dabei gibt es natürlich interrelationale Abhängigkeiten.
• 1-n-Beziehung: Die Beziehung wird als Attribut der n-Entität gespeichert: z.B. Vorlesung(Nummer, Titel, SWS, Prof)
• 1-1-Beziehung: Die Beziehung wird als Attribut einer der beiden Entitäten gespeichert
• Rekursive Beziehung: Laufen halt rekursiv...

Generalisierungen 4 Möglichkeiten:

• partiell: Tabelle für jeden Entity-Typ

• total: Tabelle für alle Sub-Entities

• disjunkt: eine Tabelle für alle Attribute enthält und ein Typ-Attribut

• überlappend: eine Tabelle für alle Attribute enthält und ein boolsches Attribut für jeden Typ

• Schwache Entities werden als Relation mit Schlüssel aus dem Schlüssel der starken Entity und dem schwachen Attribut gespeichert.

• n-stellige Beziehungen werden als Relation mit Schlüssel aus den Schlüsseln der Entities und den Attributen gespeichert.

Relationale Algebra

Hiermit macht man Operationen auf Relationen. Bissle wie SQL nur in "mathematisch".

Operationen:

• Vereinigung: $r \cup s = \{t \in r \lor t \in s\}$
• Differenz: $r - s = \{t \in r \land t \notin s\}$
• Kreuzprodukt: $r \times s = \{t_1 \cup t_2 | t_1 \in r \land t_2 \in s\}$
• Selektion: $\sigma_{\phi}(r) = \{t \in r | \phi(t) = true\}$ wobei $\phi$ eine Formel ist die auf die Attribute von $r$ definiert ist.
• Projektion: $\pi_{A_1, ..., A_n}(r) = \{t[A_1, ..., A_n] | t \in r\}$ wobei $A_1, ..., A_n$ Attribute von $r$ sind. Also Auswahl von Spalten aus einer Relation wie vorher.
• Umbenennung: $\rho_S(R)$ oder $\rho_{A \to B}(R)$ Also Umbenennung einer Relation oder eines Attributs.
• Durchschnitt: $r \cap s = r - (r - s)$
• Natural Join: $R \bowtie S$ Selektierung aus dem Kreuzprodukt von $R$ und $S$ mit der Bedingung, dass die Attribute die gleichen Werte haben.
• Theta Join: $R \bowtie_{\phi} S$ Selektierung aus dem Kreuzprodukt von $R$ und $S$ mit der Bedingung, dass die Formel $\phi$ gilt.
• Outer Join: Hier bleiben nicht nur die Tupel die gleiche Werte haben übrig. Bei left / right bleiben alle der linken / rechten Relation übrig. Bei full bleiben alle übrig.

Kalkül

Aus der Algebra baut man dann logischer weise ein Kalkül nach MALO Style auf.

Hierbei sind die Atome:

• $t \in R$
• $t.A \theta s.B$ wobei $\theta$ ein Vergleichsoperator ist.
• $t.A \theta c$ wobei $c$ ein Konstante ist. Verknüpfungen:
• $\land, \lor, \lnot, \exists, \forall, \to, \leftrightarrow$

Ja ist glaube ich nicht so spannend

Vielleicht guck ich mirs später nochmal an

Oder mit ihren eigenen Worten:

"Wozu zur Hölle ist das Tupelkalkül zu gebrauchen?"