Noten Würfeln nach Aachener Art

Grundbegriffe

Stocha ist gar nicht so kompliziert sie haben nur dumme Begriffe.

Annahme: Grundlagen der Mengenlehre und Kenntnisse in Analysis (Integrale, Folgen und Reihen)

Die Absoluten Grundbegriffe sind folgende:

• Ergebnisraum $\Omega$ ist die Menge aller möglichen Ergebnisse Bsp.: Ein 6-seitigen Würfel hat den Ergebnisraum $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. Bzw. bei Mehrstufigen Experimenten z.B. mehrmaliger Würfelwurf, wird das ganze als Tupel dargestellt. $\Omega = \{ (1,1),..., (6,6)\}$
• Ereignis $A$ ist eine Teilmenge des Ergebnisraums $A \subseteq \Omega$ Bsp.: Die Menge der geraden Zahlen ist ein Ereignis $A = \{2,4,6\}$
• Wahrscheinlichkeit $P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird ist $P(A) = \frac{1}{2}$

Weitere Grundbegriffe die immer wieder vorkommen:

• Gegenereignis $\overline{A}$ ist das Ereignis, dass $A$ nicht eintritt Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird ist $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$

• Erwartungswert $E$ ist der Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse Bsp.: Der Erwartungswert eines 6-seitigen Würfels ist $E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$. Das ist die Durchschnittliche Augenzahl die man erhält.

• Varianz $V$ ist ein Maß für die Streuung der Ergebnisse Bsp.: Die Varianz eines 6-seitigen Würfels ist $V = E((X - E(X))^2) = \frac{1}{6} \cdot (1-3.5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (2-3.5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (3-3.5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (4-3.5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (5-3.5)^2 + \frac{1}{6} \cdot (6-3.5)^2 = 2.9166666666666665$

• Standardabweichung $\sigma$ ist einfach nur $\sqrt{V}$

• Kovarianz $Cov$ ist ein Maß für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen

• Verteilung $F_X$ ist eine Funktion, die an jeder Stelle $x$ die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq x)$ angibt

• Dichte $P[a,b] := \int_a^b f(x) dx$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ einen Wert zwischen $a$ und $b$ annimmt. $f_X(x) = F_X'(x)$

• Unabhängigkeit $X$ und $Y$ sind unabhängig, wenn $P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq x) \cdot P(Y \leq y)$

• Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ ist eine Funktion, die jedem Ereignis $A$ eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet. $P: \mathcal{A} \to [0,1]$. Die Kriterien sind: $0 \le P(A) \le 1 \forall A \in \Omega$, $P(\Omega)= 1$ und wenn $A_1, ..., A_n$ disjunkt gilt. $P(\bigcup_{i \in \underline{n}} A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$

Problemthema Zufallsvariablen

In praktisch allen Bereichen begegnen uns bald Zufallsvariablen. Hier stellt sich häufig die Frage...

Was ist das?

Zufallsvariablen oder Zufallsgrößen sind Werte, die vom Zufall abhängen. Also zum Beispiel Würfelzahl, Nummer der defekten PSP Boards oder ähnliches.

Formal wird jedem Ergebnis eine Zufallsgröße zugeordnet. Also $\Omega \to \mathbb{R}$. Zufallsvariablen werden häufig als $X$ notiert.

Es ist also wichtig zu wissen, dass die Zufallsvariablen keinen Wert beschreiben oder so. Wir sagen immer nur: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X < 300$, also das weniger als $300$ PSP Boards kaputt sind. Wir wissen natürlich alle $P(X < 300) = 0$, denn nicht der Code ist falsch sondern die Boards!

Im Anfang schuf Gott Himmel und Erde

Wenn du einen $6$-seitigen Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeiten hast, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl $P(X = 6) = \frac{1}{6}$ trivialerweise. Genauer $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ bei diskreter Gleichverteilung bzw. Laplace-Raum.

Für alle Wahrscheinlichkeitsräume gibt es folgende Gleichheiten. Sei $A$ ein Ereignis.

• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• $A \subset B: P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ auch für mehrere Ereignisse

Weitere Basics Urnen

Ja Urnen sind nervig.

Es gibt sehr viele Versionen, die sich wie folgt Unterscheiden:

• Anzahl Kugeln (farbig, Gleichfarbig)
• Mit / Ohne Zurücklegen
• Mit / Ohne Reihenfolge

	Mit Zurücklegen	Ohne Zurücklegen
Mit Reihenfolge	$\Omega = \{(w_1, ..., w_n) \mid w_i \in A\} \\ \lvert \Omega \rvert = N^n$	$\Omega = \{ (w_1, ..., w_n) \mid w_i \in A, \\ w_i \neq w_j \quad \mathrm{ für } \quad i \neq j \} \\ \lvert \Omega \rvert = \frac{N!}{(N-n)!} = N \cdot (N-1) \cdot N(N-n+1)$
Ohne Reihenfolge	$\Omega = \{ (w_1, ..., w_n) \mid w_i \in A, i=1,...,n, w_1 \le ... \le w_n \} \\ \lvert \Omega \rvert = \binom{N+n-1}{n}$	$\Omega = \{ {w_1, ..., w_n} \mid w_i \in \{1, ..., n\}, \\ w_i \neq w_j \quad \mathrm{für} \quad i \neq j \} \\ \lvert \Omega \rvert = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\sigma$-Algebra

Eine $\sigma$-Algebra ist eine Menge von Ereignissen, die folgende Eigenschaften erfüllt:

• $\Omega \in \mathcal{A}$
• $A \in \mathcal{A} \implies \overline{A} \in \mathcal{A}$ (Abgeschlossen unter Komplementbildung)
• $A_1, ..., A_n \in A \implies \bigcup_{i=1}^n A_i \in A$. (Abgeschlossen unter Vereinigung)