Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeit

(Un)Abhängigkeit

Wahrscheinlichkeiten können von anderen Ereignissen abhängen. Dies sind bedingten Wahrscheinlichkeiten. Ganz simples Argument: Wie Wahrscheinlich ist es, dass mein PC zufällig abstürzt? gefühlt 50-50. Aber wie Wahrscheinlich ist es, dass er abstürzt wenn ich ihn vorher ausgemacht habe?

Allerdings gibt es auch unabhängige Zufallswerte: Wie wahrscheinlich ist es, dass mein PC abstürzt, ich aber vorher eine 6 gewürfelt habe?

Der wichtigste Test, um zu sehen ob zwei Wahrscheinlichkeiten voneinander unabhängig sind:

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Wenn das nicht gleich ist, dann sind die zwei Zufallsvariablen abhängig. Dann kann die Bedingte Wahrscheinlichkeit wiefolgt ausgerechnet werden:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Hiermit lassen sich dann so schöne Vierfeldertafeln aufstellen:

totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

$P(B) = P(B \mid A_1)P(A_1) + ... + P(B \mid A_k)P(A_k)$

Satz von Bayes:

$P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i)P(A_i)}{P(B)}$