Flugzeug stürzt nur mit 90% Wahrscheinlichkeit nicht ab (Hypothesentests)

Statistische Test

Seien $f_0, f_1$ zwei mögliche Verteilungen für die Daten $X$. Das ist das Testproblem, ob $X \sim f_0$ oder $X \sim f_1$.

Es wird die Nullhypothese $H_0: f = f_0$ gegen die Alternativhypothese $H_1: f = f_1$ getestet.

Ein Test ist dann eine Entscheidungsregel, die basiert auf der gegebenen Statistik $T(X_1, ..., X_n)$ (Statistik war einfach nur eine Funktion von den Daten) die entweder $H_0$ oder $H_1$ akzeptiert.

Fehlertypen

Es gibt nun folgende Fehlertypen:

	$H_0$ richtig	$H_1$ richtig
$H_0$	Korrekt	Fehler 2. Art
$H_1$	Fehler 1. Art	Korrekt

Signifikanzniveau & Schärfe

Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, also $P_{H_0}("H_1") \le a$.

Die Schärfe $1 - \beta$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, also $P_{H_1}("H_0") \le \beta$.

	$H_0$ richtig	$H_1$ richtig
$H_0$	Korrekt: $1-\alpha$	Fehler 2. Art: $\beta$
$H_1$	Fehler 1. Art: $\alpha$	Korrekt: $1-\beta$ (Schärfe)

Hypothesen

Da man meistens nicht nur zwei Verteilungen gegenüberstellen möchte, sondern Einhalten von Grenzwerten testen möchte, gibt es folgende Hypothesen:

• $H_0: \mu \le \mu_0$ gegen $H_1: \mu > \mu_0$ (rechtsseitiger Test)
• $H_0: \mu \ge \mu_0$ gegen $H_1: \mu < \mu_0$ (linksseitiger Test)
• $H_0: \mu = \mu_0$ gegen $H_1: \mu \ne \mu_0$ (zweiseitiger Test)

t-Test

Gegeben sei eine Stichprobe $X_1, ..., X_n$ mit $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ mit unbekannter Varianz $\sigma^2$. Ersetzte nun $\sigma^2$ durch die Stichprobenvarianz $S^2$ und definiere die Teststatistik $T = \sqrt{n}\frac{\overline{X} - \mu_0}{S}$ somit $T \sim t_{n-1}$.

Tests:

• verwerfe $H_0: \mu \le \mu_0$ gegen $H_1: \mu > \mu_0$ wenn: $T > t(n-1)_{1-\alpha}$
• verwerfe $H_0: \mu \ge \mu_0$ gegen $H_1: \mu < \mu_0$ wenn: $T < -t(n-1)_{1-\alpha} = t(n-1)_\alpha$
• verwerfe $H_0: \mu = \mu_0$ gegen $H_1: \mu \ne \mu_0$ wenn: $|T| > t(n-1)_{1-\frac{\alpha}{2}}$

Beispiel aus der Vorlesung:

Die Schätzung der mittleren Ozonkonzentration während der Sommermonate ergaben für eine Großstadt anhand von $n = 26$ Messungen den Mittelwert $\overline{x}_n$ = 244 und die Stichproben-Standardabweichung $s = 5.1$ (jeweils in $\frac{\mu g}{m^3}$ ). Der im Ozongesetz von 1995 festgelegte verbindliche Alarmwert beträgt $240 \frac{\mu g}{m^3}$ . Kann das gemessene Ergebnis als signifikante Überschreitung des Warnwerts gewertet werden zum Signifikanzniveau $\alpha = 0.01$?

$p$-Wert

Guckt sich an, wie wahrscheinlich es ist, dass bei einer Wiederholung ein Wert entsteht, der noch mehr gegen $H_0$ spricht als $t_{obs}$

Gütefunktionen & 2-Stichproben-Tests

Kein Bock darauf. Vielleicht später

Binomial-Test

$X_1, ..., X_n \sim F$ F besitzt eindeutigen Median $m$ und $F(m) = 0.5$.

• $H_0: m \ge m_0$ gegen $H_1: m < m_0$ (linksseitiger Test)
• $H_0: m \le m_0$ gegen $H_1: m > m_0$ (rechtsseitiger Test)

Dies lässt sich zurückführen auf den Binomial-Test:

$Y \sim Bin(n,p) \quad p = P(Y_1 > m_0)$

Bzw.

• $H_0: p = p_0$ gegen $H_1: p \ne p_0$
• $H_0: p \le p_0$ gegen $H_1: p > p_0$

Teststatistik: $T = \frac{Y - np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}} \sim N(0,1)$

• Lehne $H_0: p \le p_0$ ab, falls $T > z_{1-\alpha}$
• Lehne $H_0: p \ge p_0$ ab wenn $T < z_\alpha$
• Lehne $H_0: p = p_0$ ab wenn $|T| > z_{1-\frac{\alpha}{2}}$

Hierbei ist $z_{1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der Standardnormalverteilung.

Regression und Lineare Regression

Was ist das?

$\uparrow$ Das erster sinnvolle Bild auf tenor.com.

Also es geht um eine Menge von Werten z.B. produzierte Bauteile die von einer anderen Sachen abhängen. Soweit so einfach. In unserem Beispiel braucht Helmut, durchschnittlich über eine eine Woche, 55 Minuten um ein Laufrohr eines Kampfpanzers Leopard 2A8 zu produzieren.

Nun sollen wir eine Gerade $\hat{f}(t) = \hat{a} + \hat{b}t$ finden, die in Abhängigkeit von der benötigten Zeit $t$ die Anzahl produzierter Laufrohre $f(t)$ schätzt.

Wie findet man nun $\hat{a}$ und $\hat{b}$?: Das gängigste ist die Methode der kleinsten Quadrate.

$Q(a,b) = \sum_{i=1}^n (y_i - (a + bt_i))^2$ soll minimal werden.

Das heißt $\hat{b} = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ und $\hat{a} = \overline{y} - \hat{b}\overline{x}$ Hier ist $s_{xy}, s_{y}$ natürlich die Stichproben-Varianz