Zufallsvektoren

Es wird noch viel besser.

Im Grunde sind Zufallsvektoren einfach nur mehrdimensionale Zufallsvariablen. Also

$X: \Omega \to \mathbb{R}^n, \quad w \mapsto X(w) = (X_1(w), ..., X_n(w))$

Ich schreibe hier jetzt $X$ für einen Vektor. Auch hierfür gibt es natürlich Verteilungen, Erwartungswerte etc.

Verteilung: $P_X(A) = P(X \in A)$. Wenn $X \in \mathbb{R}^n$ dann ist die Verteilungsfunktion so: $F(x_1, ..., x_n) = P(X_1 \le x_1, ..., X_N \le x_n)$ Die Eigenschaften der Verteilungsfunktion sind gleich zu den eindimensionalen nur halt eben für Vektoren.

• Produktverteilung: $X_i \sim F_i(x) F(x_1, ..., x_n) = F_1(x_1) \cdot ... \cdot F_n(x_n)$ Hier sind alle $X_1, ..., X_n$ stoch. unabhängig.

Diskrete Zufallsvektoren

Auch hier gibt es wieder eine Zähldichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion: $p_X: \mathbb{R}^n \to [0,1], p_X(x) = P(X = x)$

Produktzähldichte: Sind $p_1(x), ..., p_n(x)$ Zähldichten, dann ist: $p(x_1, ..., x_n) = p(x_1) \cdot ... \cdot p(x_n)$

Stetige Zufallsvektoren

Die werden sehr schnell sehr doof, da sie nach einer Funktion $f_X(x_1, ..., x_n)$ verteilt sind also: $P(X \in (a,b])= P(a_1 < X_1 \le b_1, ..., a_n < X_n \le b_n) = \int_{a_n}^{b_n}...\int_{a_1}^{b_1} f_X(x_1, ..., x_n)dx_1 ... dx_n$

Die Dichte ist analog wie vorher definiert.

Bedingte Verteilungen / Dichten

Leider können auch in einem Zufallsvektor Zufallsvariablen untereinander abhängig sein. Wir gehen hier von zwei Vektor aus also $(X,Y)$. Dann ist die bedingte Zähldichte definiert als:

$p_{X \mid Y}(x \mid y) = P(X =x \mid Y = y) = \begin{cases} \frac{p(x,y)}{p_Y(y)} & y \in \{ y_1, y_2, ...\} \\ p_X(x) & y \notin \{y_1, ...\} \end{cases}$

für stetige ZV ist es analog definiert nur mit $f(x)$ als Dichtefunktion statt der Zähldichte:

$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \begin{cases} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} & f_Y(y) > 0 \\ f_X(x) & f_Y(y) = 0 \end{cases}$

Aber was heißt das jetzt? Das ist die Zähldichte/Dichtefunktion von $X$, wenn $y$ gegeben ist. Wieder als Beispiel: Mein PC stürzt (ganz hypothetisch) immer Montags zwischen 10:00 und 18:00 ab. Aber wenn ich im Urlaub bin und er ausgeschaltet ist, ändert das natürlich die Dichtefunktion bedeutend.

Als Notation wird $X | Y = y \sim f_{X|Y}(x|y)$ bzw. $X|Y = y \sim p_{X|Y}(x|y)$ verwendet

Als Test ob stoch. unabhängig gibt: $p_{X|Y}(x|y) = p_X(x)$ und $p_{Y|X}(y|x) = p_Y(y)$ für alle $x$ und $y$ ebenso für stetige.

Aber leichter ist das Produktkriterium: $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ für alle x,y

Bedingter Erwartungswerte

$E(X|Y = y)= \sum_{x \in X} x p_{X|Y}(x|y)$ bzw. $E(X|Y = y)= \int x f_{X|Y}(x|y)dx$

Kovarianzmatrizen

Statt einen einzelnen Varianzwert bildet man aus $Var(X) = (Cov(X_i, X_j))_{i,j}$ eine ($n \times n$)-Kovarianzmatrix :(

Randdichte

Randdichte sind tatsächlich auch wichtig. Bsp. Man hat die Funktion $f_{XY} = \begin{cases} 4y^2(2-x-y) & x,y \in (0,1) \\ 0 & sonst \end{cases}$

Dann ist die Randdichte von $X$: $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y)dy$

und von $Y$: $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y)dx$

Somit kann dann auch der Erwartungswert von $E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y)dy$ berechnet werden.

Bei diskreten Zufallsvektoren ist das analog nur statt Integral wird einfach summiert :)

mehrdimensionale Verteilungen

• Multivariate Normalverteilung $X \sim N_n(\mu, I)$
  $\varphi(x_1, ..., x_n) = (\frac{1}{\sqrt{2 \pi}})^n e^{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$

  n-dimensional standardnormalverteilt heißt $X \sim N_n(0, I)$. Dann gilt auch:

  $Y = X + \mu \sim N_n(\mu, I)$

  Es gibt zwar noch Multivariate Normalverteilung ohne Standard aber die will niemand hoffe ich.