Konfidenz = 1000 (Konfidenzintervalle)

Hier wirds komisch. Die Anwendungen habe ich selber noch nicht gemacht. Weiterhin geht es um Schätzungen und Eingrenzungen von Parameter für Verteilungen.

T-Verteilung (relevant)

T-Verteilung ist das hier: $T = \sqrt(n) \frac{\overline{X} - \mu}{S}$,

wobei $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_i$

und $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2$.

$\chi^2$-Verteilung (relevant)

Sei $X_1, \dots, X_n$ i.i.d. $X_i \sim \mathcal{N}(0, 1)$, dann ist

$Q = \sum_{i = 1}^n X_i^2$. Dann ist $E(Q) = k$ und $Var(Q) = 2k$.

Gilt mit $c > 0$: $\frac{T}{c} \sim \chi^2(k)$ oder $T \sim c \cdot \chi^2(k)$, dann ist heißt $T$ gestreckt $\chi^2$-verteilt.

F-Verteilung (Eher nicht relevant)

Sei $Q_1 \sim \chi^2(n_1)$ und $Q_2 \sim \chi^2(n_2)$, dann ist

$F = \frac{Q_1 / n_1}{Q_2 / n_2} \sim F(n_1, n_2)$. $E(F) = \frac{n_2}{n_2 - 2}$ und $Var(F) = \frac{2n_2^2(n_1 + n_2 - 2)}{n_1(n_2 - 2)^2(n_2 - 4)}$.

Konfidenzintervalle (mittelmäßig relevant)

Ein Konfidenzintervall grenzt einen Parameter statistisch ein. Das Konfidenzniveau gibt an, wie sicher man sich sein kann, dass der wahre Parameter innerhalb des Konfidenzintervalls liegt.

Also $[L,U]$ mit $L = L(X_1, ..., X_n), U = U(X_1, ...., X_n)$ ist ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha$, wenn für alle $\vartheta \in \Theta$ gilt $P([L,U] \ni \vartheta) \ge 1 - \alpha$.

Für $\mu$

Zweiseitiges Konfidenzintervall, $\sigma$ ist unbekannt:

$[L,U] = [\overline{X} - t(n-1)_{1- \alpha / 2} \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t(n-1)_{1- \alpha / 2} \frac{S}{\sqrt{n}}]$

Hierbei sind die $X$ verteilt auf $X_1, ..., X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ und $\overline{X}, S$ wie oben definiert.

Somit erhält man:

$\overline{X} - t(n-1)_{1- \alpha / 2} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{X} + t(n-1)_{1- \alpha / 2} \frac{S}{\sqrt{n}}$ mit Wahrscheinlichkeit $1 - \alpha$.

Verbesserungen:

• Ersetzte $S$ durch $\sigma$ falls bekannt
• Ersetzte $t(n-1)_{1- \alpha / 2}$ durch $z_{1- \alpha / 2} = \Phi^{-1}(1- \alpha / 2)$ falls $n$ groß genug ist

Für $\sigma^2$

Ausganglage: Wir haben einen Schätzer $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ für $\sigma^2$.

$[L,U] = [\frac{n-1}{\chi^2(n-1)_{1- \alpha / 2} \hat{\sigma}^2}, \frac{n-1}{\chi^2(n-1)_{\alpha / 2} \hat{\sigma}^2}]$

Für $p$

$[L,U] = [\hat{p} - z_{1- \alpha / 2} \sqrt(\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n}), \hat{p} + z_{1- \alpha / 2} \sqrt(\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n})]$